回顾功的互等法的诞生

               付宝连

我于1952年秋季考入清华大学航空系。1953年全国高等院校改革，由清华大学、北洋大学和西南联大等八所院校的航空系合并组建北京航空学院，现已更名为北京航空航天大学。1956年底我在北航毕业留校，被分配到材料力学教研室工作，当了一名助教。

那时，我国高校学习苏联教学模式，由资历较深的教师，如教授、副教授担任一门课的主讲，而助教是上辅导课（在苏联叫课堂讨论），辅导课是根据教学大纲贯彻主讲教师的讲课重点，主讲教师是上大班课，一个大班通常是由4-5个小班组成，个别的也由1-2个小班组成。辅导课是分小班上，每个小班通常为25名左右的学生。

我记得那是在1060年，给北航火箭专业的学生上材料力学课，重点之一是贯彻直梁的功的互等定理的概念。功的互等定理是意大利理学家贝蒂于1872年建立的，因此，有时也称为贝蒂功的互等定理。该定理可被表述为：有一小变形线性弹性体在两组外力作用下处于真实状态，则有第一组外力在第二组外力所产生的相应位移上所做的功等于第二组外力在第一组外力所产生的相应位移上所做的功。这里要强调指出的是，两组外力必须要作用在同一弹性体上。

主讲教师是以简支梁为例来说明这一定理的。图1所示一简支梁，在点1处受一集中载荷P₁的作用，由某作用在点2处所产生的挠度为f₁₂。同一简支梁如图2所示，其在点2处受另一集中载荷P₂的作用，由P₂的作用在点1处所产生的挠度为f₂₁。根据贝蒂功的互等定理，应有关系式：

                           P₁ f₂₁=P₂ f₁₂

为扩大学生的思路，在课堂上有时还列举受两组力P₁和M₂作用的同一悬臂梁，如图3和图4所示。根据贝蒂功的互等定理，有：

                          P₁ f₂₁=M₂Q₁₂

这个例子说明了力是广义力，位移是广义位移。一般说来，贝蒂功的互等定理也就讲到此为止。至于由贝蒂功的互等定理所导出的三个引理，位移互等定理，反力互等定理和位移及反力互等定理一般都不再述及。

那时的老师们，不管是主讲老师还是辅导老师备课都非常认真。我和其他老师们一样，备课也是非常努力。除此之外，我还经常准备一些启发性的思考题让学生们思考。例如，在功的互等定理的辅导课上，我准备了下面一个问题让学生们思考：考虑一受单位集中载荷作用的简支梁，如图5所示；另一个是受均布载荷作用的悬臂梁，如图6所示。可否在图5和图6之间应用功的互等定理求解图6悬臂梁的挠曲轴方程？这个问题有点难度，现在来回答这一问题的答案是肯定的。

由于高校受57年反右和58年大跃进的影响，一些受极左思潮影响的学生不断地给老师们贴大字报。我所辅导的学生也给我贴了一张大字报，学生们批判了我的所谓“资产阶级教育思想”。当时，我对学生们的批判抱有抵触情绪，因此，在功的互等定理的备课教案中删去了图5和图6所示的思考题。这样，在两个不相同弹性体之间应用功的互等定理想法就被搁置下来。另一方面，说实话，那时我对在不相同的弹性体之间应用功的互等定理的重要性也没有什么认识，否则，

我也不会让这样一个重要问题随随便便地从自己手中溜掉。

1978年全国科学技术大会吹响了向科学进军的号角，1980年我重返高校，调入东北重型机械学院工作。20年前备课时所想的思考题重新又被拾起，沿着这一思路，推广功的互等定理适用于两个不相同的弹性体，计算了弯曲薄板的平衡、震动和稳定，计算了弹性力学的平面问题和空间问题，还计算了弯曲厚矩形板的平衡、震动和稳定问题，我们称这一方法为功的互等法。先后在国内一级刊物发表论文30余篇。

看来，国家的政策对错与否对科学技术的发展有重要影响，四人帮的极左政策阻碍了科学技术的发展，改革开放的政策促进了科学技术的进步。